分析解法可以直接給出溫度場的分析形式,即t與X,y,z,r之間的函數關系,具有普遍的意義,也便于分析各因家對溫度分布的影響。但加熱爐利用此法僅適用于數量有限的經典問題,主要用于幾何形狀簡單及邊界條件簡單的情況,實際情況有時和這些條件有較大出人,應用時不得不作很多假定,因而給計算帶來很大誤差。數值解法可以解決這類問題,常用的數值解法是有限差分法。這種方法計算簡單,但計算工作量很大,不過自從運用了電子計算機這種手段以后,這已經不成問題,有限差分法也越來越引起重視。有些情況下,即使存在嚴格的解析解,有限差分法也可以提供更為簡便的途徑。
有限差分法的基礎是:假定在空間里或在時間上連續(xù)的過程,都可以用階躍的不連續(xù)過程來代替。把求解微分方程式變換為求解差分方程式。例如單向導熱微分方程式為
這種代換使解的精確性當然差一些,但與所取的△r和Ax的大小有關,間距越小,計算的結果越精確。設有一個平壁,溫度是連續(xù)分布的(見圖3-38),把平壁分為許多厚度為Oz的薄層,各層用角碼……(n一1),n,(n+1)"""…表示。把時間也分成相等的間隔Ar,并用角碼…""(k一1),k,(k+1)"""…標明。這樣,例如‘、。就代表過程經過kOr時間后,第n層的中心溫度。溫度分布本來是曲線,用差分值代替以后,每小段可視為直線,整個成為一條折線。
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